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Fondamenti di Automazione - Sistemi dinamici (Cap. 2)

Come si è visto nel Capitolo 1, per poter affrontare in modo specifico e puntuale alcuni problemi di controllo è necessario avere a disposizione rigorosi modelli matematici riguardanti i componenti dei sistemi di controllo. In questo capitolo affronteremo nello specifico i sistemi dinamici, che sono i modelli matematici più usualmente utilizzati nelle applicazioni pratiche, insieme alle loro proprietà.

2.1 Definizione di Sistema dinamico e sue proprietà


sistema dinamico

Fig. 2.1: Sistema dinamico

Un sistema dinamico è un modello matematico rappresentato in maniera schematica in fig. 2.1. Esso è caratterizzato da un totale di 6 insiemi e 2 funzioni di cui riconosciamo:

  • Insieme delle variabili di ingresso U: rappresentano le azioni compiute sul sistema in esame da agenti esterni che ne influenzano il comportamento.
  • Insieme delle variabili di uscita Y: rappresentano quanto del comportamento del sistema stesso è di interesse per i nostri scopi.
  • Insieme delle variabili di stato X: descrivono la situazione interna del sistema.
  • Insieme delle funzioni ammissibili in ingresso Ω: le forme d'onda che il sistema può supportare in ingresso.
  • Insieme delle funzioni ammissibili in uscita Γ: le forme d'onda che il sistema può supportare in uscita.
  • Insieme dei tempi T: l'insieme che regolamenta la dipendenza dei parametri interni del sistema dal tempo (numeri reali, naturali, ecc...). Se T⊆R allora si parla di sistema tempo-continuo, se T⊆N allora si parla di sistema tempo-discreto.

Funzioni: le due funzioni che regolano il comportamento del sistema sono la transizione di stato (2.1) e la trasformazione di uscita (2.2):

dove riconosciamo:

  • = tempo (o istante) iniziale
  • = stato iniziale
  • = ingresso

L'equazione (2.1) definisce l'evoluzione dello stato per , in corrispondenza di ogni terna costituita da un istante iniziale , una funzione di ingresso , e una condizione iniziale . La funzione si dice movimento dello stato del sistema. L'equazione (2.4) permette invece di determinare l'evoluzione dell'uscita per , in corrispondenza della funzione di ingresso e dell'andamento dello stato per . La funzione va sotto il nome di movimento dell'uscita.

2.1.1 Proprietà della x(t)

Consistenza: Ci garantisce che, valutando lo stato in possiamo risalire alla condizione iniziale del sistema, ovvero

Irreversibilità: Se nulla si può dire riguardo al sistema, che resta definito .

Composizione: Per valutare il sistema in posso usare condizioni iniziali relative a , con , ovvero

 Causalità: Date due funzioni di ingresso e appartenenti a , identiche nell'intervallo si ha che

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